Κοινός παρονομαστής

Ανακοινώθηκε προ ημερών ότι οι Δημήτρης Κουκουλόπουλος από το Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ και Τζέιμς Μέιναρντ από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης επέλυσαν την Εικασία Duffin – Schaeffer. Η μαθηματική αυτή υπόθεση, διατυπωμένη το 1941, αναφέρεται σε κριτήρια προσδιορισμού της ακρίβειας προσέγγισης ενός αριθμού, αν περιορίσουμε το σύνολο των τιμών που μπορεί να λάβουν οι παρονομαστές των κλασμάτων με τα οποία προσεγγίζεται ο αριθμός αυτός.

Για παράδειγμα, ο αριθμός π = 3,14159…, που προκύπτει ως το σταθερό πηλίκο της περιμέτρου Ρ ενός κύκλου διά της διαμέτρου του δ (π = Ρ/δ), ανήκει στην κατηγορία των αριθμών που οι μαθηματικοί ονομάζουν υπερβατικούς, καθώς το δεκαδικό του μέρος αναπτύσσεται σε άπειρα ψηφία τα οποία δεν επαναλαμβάνονται με την ίδια σειρά. Οι αριθμοί αυτοί δεν μπορούν να γραφούν υπό μορφήν απλού κλάσματος.

Ωστόσο, ήδη από τα αρχαία χρόνια ήταν γνωστό ότι το κλάσμα 22/7 = 3,14285… αποτελεί μια πολύ καλή προσέγγιση του π, καθώς διαφέρει από την πραγματική τιμή μόλις κατά 0,04%. Ασφαλώς κάποιος μπορεί να πετύχει πολύ καλύτερες προσεγγίσεις, για παράδειγμα το κλάσμα 31.416/10.000 διαφέρει από την πραγματική τιμή τού π λιγότερο από 0,0003%. Είναι λοιπόν φανερό ότι το μέγεθος του συνόλου των επιτρεπτών τιμών που μπορούν να λάβουν οι παρονομαστές των κλασμάτων καθορίζει με τον έναν ή τον άλλο τρόπο την ακρίβεια της επιχειρούμενης προσέγγισης.

Μάλιστα οι Duffin και Schaeffer εισήγαγαν την υπόθεση ότι η υιοθέτηση ακόμα και ενός αραιού, ολιγομελούς υποσύνολου «απαγορευμένων» παρονομαστών μπορεί να εμποδίσει εντελώς την προσέγγιση κάποιων αριθμών.

Η επίλυση της Εικασίας Duffin – Schaeffer, 78 χρόνια μετά τη διατύπωσή της, αναπόφευκτα επαναφέρει τη συζήτηση του αν η επίλυση θεωρητικών μαθηματικών προβλημάτων (όπως το συγκεκριμένο, που εντάσσεται στον χώρο της Θεωρίας Αριθμών) μπορεί να έχει εφαρμογές και επιπτώσεις στην καθημερινή ζωή. Η απάντηση στο ερώτημα αυτό δεν μπορεί παρά να είναι θετική καθώς, όπως έχει φανεί σε πολυάριθμες περιπτώσεις στο παρελθόν, αποτελεί θέμα χρόνου ώστε να αναπτυχθούν πρακτικές εφαρμογές βασιζόμενες σε μαθηματικά θεωρήματα τα οποία αρχικά φαινόταν να αφορούν (μόνο) τον κόσμο των αφηρημένων Μαθηματικών. Αυτός είναι και ένας από τους βασικούς λόγους για την αναγκαιότητα της συνεχούς ενίσχυσης της θεωρητικής έρευνας σε όλους τους επιστημονικούς κλάδους.

Ωστόσο, η επίλυση του συγκεκριμένου μαθηματικού προβλήματος οδηγεί και στο εξής πρακτικό ερώτημα: Αραγε, πόσοι και ποιοι είναι οι κοινοί κοινωνικοί παρονομαστές που πρέπει να υιοθετήσουμε προκειμένου να προσεγγίσουμε τα κοινά προβλήματα της ανθρωπότητας;

* (Ph.D.)², αναπληρωτής καθηγητής Ιατρικής Φυσικής – Υπολογιστικής Ιατρικής του Δημοκρίτειου Πανεπιστήμιου Θράκης