Ενα πρόβλημα για λίγους

Η «Εικασία του Γκόλντμπαχ» είναι ένα από τα άλυτα μυστήρια της θεωρίας των αριθμών και βασανίζει τους μαθηματικούς από τότε που διατυπώθηκε, το μακρινό 1742.

Η μαθηματική αυτή υπόθεση διατυπώνεται ως εξής: «Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών».

Τη σκέψη αυτή περιέλαβε ο Γερμανός μαθηματικός Κρίστιαν Γκόλντμπαχ (Christian Goldbach, 1690-1764) σε επιστολή του προς τον Ελβετό συνάδελφό του Λέοναρντ Οϊλερ (Leonhard Euler, 1707-1783).

Από τότε έχει επιχειρηθεί να αποδειχτεί η αλήθεια του ισχυρισμού ή να ανατραπεί αυτή η «εικασία», χωρίς όμως αποτέλεσμα.

Τη δική του συμβολή στον διεθνή προβληματισμό ειδικών επιστημόνων για το ζήτημα δίνει από τις στήλες της «Εφ.Συν.» ο μηχανολόγος-ηλεκτρολόγος Κυριάκος Σταμέλος.

Στους αναγνώστες μας ο κ. Σταμέλος είναι γνωστός από τον ιδιαίτερο ρόλο που έπαιξε το δραματικό βράδυ της 17ης Νοεμβρίου 1973, όταν επιχείρησε να διαπραγματευτεί με τους στρατιωτικούς, έξω από την πύλη του Πολυτεχνείου μπροστά στα τανκς, την αναίμακτη αποχώρηση των έγκλειστων φοιτητών και εργαζομένων.

Ανήσυχο πνεύμα από τότε μέχρι σήμερα, δεν διστάζει να τα βάλει με τις απόψεις που έχουν κυριαρχήσει για την εξέγερση και να ανοίξει διάλογο ακόμα και με τους «πολιορκητές» εκείνης της βραδιάς και να αναζητήσει τη δική τους αλήθεια.

Ανεξάρτητα από τη γνώμη καθενός για την επιτυχία αυτού του εγχειρήματος (βλ. σχετ. «Τα τανκς τώρα δικαιώνονται!», «Εφ.Συν.», 7.12.2017) είναι γεγονός ότι ο Σταμέλος δικαιούται να διεκδικεί αυτή την αιρετική επιλογή.

Είναι κάτι που έχει κερδίσει με τη στάση του εκείνες τις δύσκολες εποχές.

Με το ίδιο πάθος τολμά εδώ να ξεπεράσει ένα εμπόδιο που αιχμαλωτίζει τους μαθηματικούς επί σχεδόν τρεις αιώνες. Και μας ξαφνιάζει με την επιμονή του στη χρήση μιας παρωχημένης καθαρευουσιάνικης γλώσσας.

Δεν είναι μόνο η «επιστημονική αυστηρότητα», που θεωρεί ότι επιτυγχάνεται μ’ αυτόν τον τρόπο.

«Εμείς σ’ αυτή τη γλώσσα διδαχτήκαμε τα μαθηματικά», μας απαντά με αφοπλιστικό τρόπο…

Λογικομαθηματικό δοκίμιο περί αληθείας της εικασίας Goldbach

Υπό Κυριάκου Ε. Σταμέλου

Στις κόρες μου, Ναταλία και Βασιλική

Στόχος: Θα αναδείξουμε την αντίφασιν ότι άμα τη εκφράσει μαθηματικώς της αρνήσεως της εικασίας, η μέθοδος της Εις Ατοπον Απαγωγής καθίσταται ανεφάρμοστος ενώ έπρεπε να είναι εφαρμόσιμος, ανεξαρτήτως των ικανοτήτων του λύτη να υποδείξη ή όχι ότι καταλήγουμε εις άτοπον συμπέρασμα.

1) Θεωρούμε δεδομένους τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 10.000 (Κατάλογος Κουκουβίνου – Παπαϊωάννου, Κρυπτογραφία, Αθήνα 2007).

Οι εισηγητές της εικασίας είχαν υπ’ όψιν πολλούς περισσότερους.

2) Η πρότασις «Υπάρχει έστω ένας άρτιος μικρότερος του 10.000 διά τον οποίον δεν ισχύει η εικασία Goldbach» είναι ψευδής διότι διά όλους τους αρτίους 4-10.000 ο ανωτέρω κατάλογος δίδει αντιπαραδείγματα.

3) Εστω 2α ένας άρτιος 2α>10.000, διά τον οποίον δεν ισχύει η εικασία.

4) Εστω Ρχ ένας οποιοσδήποτε πρώτος Ρχ<2α. Οι πρώτοι του καταλόγου Κ. – Π. και πιθανόν και άλλοι μεγαλύτεροι του 10.000.

5) Εστω Cχ ένας οποιοσδήποτε περιττός, μη πρώτος, μικρότερος του 2α.

6) Διά να μην ισχύει η εικασία, διά τον 2α, θα πρέπη

2α – Ρχ = Cχ, για όλους τους Ρχ (Πρότασις Α)

7) Αμα τη αναγραφή της προτάσεως Α (άρνησις της εικασίας) προκύπτει η απαίτησις το 2α και το Cχ να μπορούν να έχουν κοινό παράγοντα μόνο του Ρχ (Πρότασις Β).

8) Δηλαδή περιγράψαμε την ακόλουθη συνεπαγωγή:

Είναι Α → Για να είναι Α πρέπει Β

Σχήμα πρωθύστερον, ξένο προς τα μαθηματικά, ανήκον στην

Καθομιλουμένη, στη Λογοτεχνία, και στη Φιλοσοφία.

9) Η ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ έχει τη μορφή

Είναι Α → Α1 → Α2 → Α3 …….. → Β, άτοπον

Η πρότασις Β πρέπει να είναι μία πρότασις ανεξάρτητη της Α (και όχι εξ αρχής συνθήκη αληθείας της Α), πράγμα που δεν ισχύει με βάση τα 6, 7, 8. Οπερ έδει δείξαι.

ΥΓ. 1 Η διατύπωσις της αρνήσεως της εικασίας εις γλώσσαν είναι εξόχως δυνατή. Η διατύπωσίς της όμως σε μαθηματική γλώσσα είναι σχήμα πρωθύστερον.

ΥΓ. 2 Η εικασία Goldbach είναι πρότασις αληθής διά το εννοιολογικό σύστημα των μαθηματικών, διότι αν ήτο ψευδής, 1ον, η άρνησίς της θα έπρεπε να μπορεί να διατυπωθή εντός του ιδίου τούτου συστήματος, και, 2ον, η Εις Ατοπον Απαγωγή να είναι εφαρμόσιμος.

ΥΓ. 3 Αναφέρομαι προς το παρόν μόνο στον φίλο Πέτρο Στεφανέα, επίκουρο καθηγητή των Μαθηματικών στο ΕΜΠ και τον ευχαριστώ για τις συζητήσεις μας.

ΥΓ. 4 Η ευθύνη της δημοσιεύσεως βαρύνει αποκλειστικά εμένα και μόνο.